Funciones de una variable
<body topmargin=0 leftmargin=0 marginheight=0 marginwidth=0> <table cellpadding=0 cellspacing=0 border=0><tr> <td valign="top" colspan=3 height=77 BGCOLOR="#009999" TEXT="#080000"> <div> <FONT SIZE="5" COLOR="#33FFCC" FACE="Arial" ><B>C á l c u l o 2 1</B></FONT><B> </B><B>| </B><A HREF="index.htm" TARGET="_top" TITLE="C á l c u l o 2 1"><U><B>Página principal</B></U></A><B> | </B><A HREF="id17.htm" TARGET="_top" TITLE="Contenido"><U><B>Contenido</B></U></A><B> | </B><A HREF="id478.htm" TARGET="_top" TITLE="Funciones y sus gráficas"><U><B> Funciones y sus gráficas</B></U></A><B> |</B></div> <div> <B>Funciones de una variable</B><B> | </B><A HREF="id479.htm" TARGET="_top" TITLE="Funciones de dos variables"><U>Funciones de dos variables</U></A></div> <div> </div> </td> </tr><tr> <td valign="top" width=147 BGCOLOR="#009999" TEXT="#080000"> <div> <A HREF="id30_m.htm#definición_de_función" TARGET="TRLX_Middle" TITLE="Funciones de una variable"><U><B><IMG BORDER="0" SRC="Symb075c00b700b4ffff9900.gif" HEIGHT="12" WIDTH="24" ALIGN="bottom" HSPACE="0" VSPACE="0">Definición de función de una variable</B></U></A></div> <div> <A HREF="id30_m.htm#gráfica_de_una_función" TARGET="TRLX_Middle" TITLE="Funciones de una variable"><U><B><IMG BORDER="0" SRC="Symb075c00b700b4ffff9900.gif" HEIGHT="12" WIDTH="24" ALIGN="bottom" HSPACE="0" VSPACE="0">Gráfica de una función</B></U></A></div> <div> <A HREF="id30_m.htm#álgebra_de_funciones" TARGET="TRLX_Middle" TITLE="Funciones de una variable"><U><B><IMG BORDER="0" SRC="Symb075c00b700b4ffff9900.gif" HEIGHT="12" WIDTH="24" ALIGN="bottom" HSPACE="0" VSPACE="0">Álgebra de funciones</B></U></A></div> <div> <A HREF="id30_m.htm#composición_de_funciones" TARGET="TRLX_Middle" TITLE="Funciones de una variable"><U><B><IMG BORDER="0" SRC="Symb075c00b700b4ffff9900.gif" HEIGHT="12" WIDTH="24" ALIGN="bottom" HSPACE="0" VSPACE="0">Función compuesta</B></U></A></div> <div> <A HREF="id30_m.htm#funciones_inversas" TARGET="TRLX_Middle" TITLE="Funciones de una variable"><U><B><IMG BORDER="0" SRC="Symb075c00b700b4ffff9900.gif" HEIGHT="12" WIDTH="24" ALIGN="bottom" HSPACE="0" VSPACE="0">Funciones inversas</B></U></A></div> <div> <A HREF="id30_m.htm#funciones_pares_e_impares" TARGET="TRLX_Middle" TITLE="Funciones de una variable"><U><B><IMG BORDER="0" SRC="Symb075c00b700b4ffff9900.gif" HEIGHT="12" WIDTH="24" ALIGN="bottom" HSPACE="0" VSPACE="0">Funciones pares e impares</B></U></A></div> <div> <A HREF="id30_m.htm#funciones_periódicas" TARGET="TRLX_Middle" TITLE="Funciones de una variable"><U><B><IMG BORDER="0" SRC="Symb075c00b700b4ffff9900.gif" HEIGHT="12" WIDTH="24" ALIGN="bottom" HSPACE="0" VSPACE="0">Funciones periódicas</B></U></A></div> <div> <A HREF="id435.htm" TARGET="_top" TITLE="Ejemplo de funciones"><U><B><IMG BORDER="0" SRC="Symb075c00b700b4ffff9900.gif" HEIGHT="12" WIDTH="24" ALIGN="bottom" HSPACE="0" VSPACE="0">Ejemplos de funciones </B></U></A></div> <div> <A HREF="id412.htm" TARGET="_top" TITLE="Funciones algebraicas"><U><B><IMG BORDER="0" SRC="Symb075c00b700b4ffff9900.gif" HEIGHT="12" WIDTH="24" ALIGN="bottom" HSPACE="0" VSPACE="0">Funciones algebraicas</B></U></A></div> <div> <A HREF="id431.htm" TARGET="_top" TITLE="Funciones trigonométricas"><U><B><IMG BORDER="0" SRC="Symb075c00b700b4ffff9900.gif" HEIGHT="12" WIDTH="24" ALIGN="bottom" HSPACE="0" VSPACE="0">Funciones trigonométricas</B></U></A></div> <div> <A HREF="id432.htm" TARGET="_top" TITLE="Función logaritmo natural"><U><B><IMG BORDER="0" SRC="Symb075c00b700b4ffff9900.gif" HEIGHT="12" WIDTH="24" ALIGN="bottom" HSPACE="0" VSPACE="0">Funciones logarítmicas</B></U></A></div> <div> <A HREF="id433.htm" TARGET="_top" TITLE="Función exponencial natural"><U><B><IMG BORDER="0" SRC="Symb075c00b700b4ffff9900.gif" HEIGHT="12" WIDTH="24" ALIGN="bottom" HSPACE="0" VSPACE="0">Funciones exponenciales</B></U></A></div> <div> <A HREF="id434.htm" TARGET="_top" TITLE="Funciones hiperbólicas"><U><B><IMG BORDER="0" SRC="Symb075c00b700b4ffff9900.gif" HEIGHT="12" WIDTH="24" ALIGN="bottom" HSPACE="0" VSPACE="0">Funciones hiperbólicas</B></U></A></div> <div> <A HREF="id466.htm" TARGET="_top" TITLE="Miscelánea"><U><B><IMG BORDER="0" SRC="Symb075c00b700b4ffff9900.gif" HEIGHT="12" WIDTH="24" ALIGN="bottom" HSPACE="0" VSPACE="0">Misceláneas</B></U></A></div> <bR> </td> <td valign="top" height=382 BGCOLOR="#FFFFFF" TEXT="#080000"> <bR> <div> <B>Funciones de una variable</B></div> <div> Si a cada elemento <I>x</I> de un conjunto <I>X</I> se le hace corresponder, mediante una regla o fórmula, un elemento <I>y</I>, y sólo uno de otro conjunto <I>Y</I>, dicha correspondencia se denomina <FONT SIZE="3" COLOR="#00CC00" FACE="Times New Roman" ><I>función</I></FONT>. El conjunto <I>X</I> se llama <FONT SIZE="3" COLOR="#00CC00" FACE="Times New Roman" >Dominio</FONT> de la función y el conjunto <I>Y</I> <FONT SIZE="3" COLOR="#00CC00" FACE="Times New Roman" >Contradominio (<I>codominio</I>) </FONT>o<FONT SIZE="3" COLOR="#00CC00" FACE="Times New Roman" > Dominio de imágenes</FONT>. </div> <div> Una función es pués un conjunto de pares ordenados (<I>x</I>, <I>y</I>) en donde no puede haber dos parejas distintas en que se repita el primer elemento.</div> <bR> <div> <B> <A NAME="definición_de_función"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A></B><B>Definición de función de una variable:</B></div> <div> Sea <I>X</I> un conjunto de números reales, una función <I>f</I> de una variable es una correspondencia que asocia a cada número <I>x</I> que pertenece a <I>X</I> uno y sólo un número real <I>y</I> que pertenece a un conjunto <I>Y</I>. Cada elemento de <I>Y</I> queda notado y determinado por <I>y</I> = <I>f</I> (<I>x</I>).</div> <bR> <div> <IMG BORDER="0" SRC="Wing0a73007700f0ff990000.gif" HEIGHT="16" WIDTH="24" ALIGN="bottom" HSPACE="0" VSPACE="0">Ejemplo de funciones de una variable independiente:</div> <div> <IMG SRC="ca995330.gif" border=0 width="149" height="51" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> La expresión de la función (<FONT SIZE="3" COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman" >1</FONT>) indica que para hallar la imagen de un valor particular de <I>x</I>, debemos multiplicarlo por 3 y al resultado restarle 2 unidades. La fórmula de la (<FONT SIZE="3" COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman" >2</FONT>) hace que a los valores de <I>x</I> se les eleve a la tercera potencia, al resultado se le reste 7 unidades y al total se le saque la raíz cuadrada. En la práctica, lo que debemos hacer, para hallar el valor correspondiente de la función para un valor particular de <I>x</I> (que pertenece, obviamente, al dominio de la función), es reemplazar en la expresión la <I>x</I> por el valor particular asignado y efectuar las operaciones indicadas. Calculemos, por ejemplo, la imagen para <I>x</I> igual a 2 en las funciones (<FONT SIZE="3" COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman" >1</FONT>) y (<FONT SIZE="3" COLOR="#FF0000" FACE="Times New Roman" >2</FONT>):</div> <div> <IMG SRC="cac20630.gif" border=0 width="288" height="99" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <bR> <div> <B><IMG BORDER="0" SRC="Wing0a73007700f0ff009900.gif" HEIGHT="16" WIDTH="24" ALIGN="bottom" HSPACE="0" VSPACE="0">O</B><FONT SIZE="3" COLOR="#000000" FACE="Times New Roman" >tra notación adecuada para establecer el conjunto de pares ordenados de una función de una variable independiente es:</FONT></div> <div> <IMG SRC="cad95150.gif" border=0 width="149" height="21" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> A <I>x</I> e <I>y</I> se les llama <FONT SIZE="3" COLOR="#00CC00" FACE="Times New Roman" ><I>variables</I></FONT>, a la <I>x</I>: <FONT SIZE="3" COLOR="#00CC00" FACE="Times New Roman" >variable independiente</FONT>, a la <I>y</I>: <FONT SIZE="3" COLOR="#00CC00" FACE="Times New Roman" >variable dependiente</FONT>. La razón de ello es que la <I>x</I> puede tomar valores arbitrarios (siempre y cuando pertenezcan al dominio de la función); mientras que la <I>y</I> obtiene su valor dependiendo del asignado a <I>x</I> y, después de pasar por las operaciones que indica la fórmula de la función. </div> <div> Como se puede colegir, el <FONT SIZE="3" COLOR="#00CC00" FACE="Times New Roman" >dominio</FONT> de una función es aquel conjunto de números que puede tomar la variable independiente. Si estamos trabajando con los números reales, por ejemplo, debemos tener encuenta dos restricciones importantes: "la división por 0 no existe" y "la raíz de índice par de números negativos no está definida en los reales". El dominio de una función se halla, por lo general, de una forma analítica. Para hallar el contradominio de una función es aconsejable deducirlo observando la <FONT SIZE="3" COLOR="#00CC00" FACE="Times New Roman" ><I>gráfica</I></FONT> de dicha función.</div> <div> Ejemplo ilustrativo:</div> <div> Hallar el dominio de las siguientes funciones,</div> <div> <IMG SRC="cb08f380.gif" border=0 width="399" height="312" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <bR> <div> <B> <A NAME="gráfica_de_una_función"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A></B><B>Gráfica de una función:</B></div> <div> Es muy ilustrativo para observar el comportamiento de una función representarla gráficamente. A continuación se da la definición:</div> <div> <IMG SRC="cb42b2b0.gif" border=0 width="555" height="43" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <IMG BORDER="0" SRC="Wing0a73007700f000000000.gif" HEIGHT="16" WIDTH="24" ALIGN="bottom" HSPACE="0" VSPACE="0">La técnica para graficar una función depende en gran medida del tipo de función. Es conveniente hacer una tabla de valores donde estén representados los valores dados a <I>x</I> y los correspondientes hallados para<I> y.</I></div> <div> <IMG BORDER="0" SRC="Wing0a73007700f000000000.gif" HEIGHT="16" WIDTH="24" ALIGN="bottom" HSPACE="0" VSPACE="0">Para estudiar algunos ejemplos de funciones y observar sus respectivas gráficas, haga clic en los enlaces del marco izquierdo "Ejemplos de funciones", "Funciones algebaricas", "Funciones trigonométricas" ...</div> <bR> <div> <B> <A NAME="álgebra_de_funciones"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A></B><B>Álgebra de funciones:</B></div> <div> Con las funciones también podemos realizar las operaciones de suma, resta, multiplicación, división y otras más (<I>composición de funciones</I>).Veamos:</div> <div> <IMG SRC="cbf53b30.gif" border=0 width="595" height="179" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <bR> <div> <B> <A NAME="composición_de_funciones"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A></B><B>Composición de funciones:</B></div> <div> <B><IMG SRC="cb839550.gif" border=0 width="569" height="85" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></B></div> <div> <IMG BORDER="0" SRC="Wing0a73007700f000000000.gif" HEIGHT="16" WIDTH="24" ALIGN="bottom" HSPACE="0" VSPACE="0">La función compuesta es la función de una función.</div> <div> Ejemplo ilustrativo:</div> <div> <IMG SRC="cbb31cf0.gif" border=0 width="561" height="207" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <bR> <div> <B> <A NAME="funciones_inversas"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A></B><B>Funciones inversas:</B></div> <div> <FONT SIZE="3" COLOR="#000000" FACE="Times New Roman" >Si <I>f</I> y <I>g</I> son dos funciones tales que </FONT><I>f </I>(<I>g</I>(<I>x</I>)) = <I>g</I>( <I>f</I> (<I>x</I>)) = <I>x</I><FONT SIZE="3" COLOR="#000000" FACE="Times New Roman" >, entonces <I>f</I> y <I>g</I> son funciones </FONT><FONT SIZE="3" COLOR="#0099FF" FACE="Times New Roman" ><I>inversas</I></FONT><FONT SIZE="3" COLOR="#000000" FACE="Times New Roman" >.</FONT></div> <div> Ejemplo ilustrativo:</div> <div> Si <I>f</I> (<I>x</I>) = <I>x + </I>3 y <I>g</I>(<I>x</I>) = <I>x</I> <FONT SIZE="3" COLOR="#000000" FACE="Symbol" >-</FONT> 3, <I>f</I> y <I>g</I> son inversas pués,</div> <div> <I>f </I>(<I>g</I>(<I>x</I>)) = (<I>x</I> <FONT SIZE="3" COLOR="#000000" FACE="Symbol" >-</FONT> 3) + 3 = <I>x</I> y <I>g</I>( <I>f</I> (<I>x</I>)) = (<I>x + </I>3) <FONT SIZE="3" COLOR="#000000" FACE="Symbol" >-</FONT> 3 = <I>x</I>.</div> <bR> <div> <B> <A NAME="funciones_pares_e_impares"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A></B><B>Funciones pares e impares:</B></div> <div> Sea <I>f</I> una función tal que si <I>x</I> está en el dominio de <I>f</I>, -<I>x</I> también lo está:</div> <div> (<FONT SIZE="3" COLOR="#0000FF" FACE="Times New Roman" >i</FONT>) <I>f </I>es una función <FONT SIZE="3" COLOR="#0099FF" FACE="Times New Roman" >par</FONT> si <I>f</I> (<I>-x</I>) = <I>f </I>(<I>x</I>), para toda <I>x</I> en el <I>domf</I>.</div> <div> (<FONT SIZE="3" COLOR="#0000FF" FACE="Times New Roman" >ii</FONT>) <I>f</I> es una función <FONT SIZE="3" COLOR="#0099FF" FACE="Times New Roman" >impar</FONT> si <I>f</I> (<I>-x</I>) = <FONT SIZE="3" COLOR="#000000" FACE="Symbol" >-</FONT><I>f </I>(<I>x</I>), para toda <I>x</I> en el <I>domf</I>. </div> <div> <IMG BORDER="0" SRC="Wing0a73007700f000000000.gif" HEIGHT="16" WIDTH="24" ALIGN="bottom" HSPACE="0" VSPACE="0">La gráfica de una función <I>par</I> es simétrica con respecto al eje<I>y</I></div> <div> <IMG BORDER="0" SRC="Wing0a73007700f000000000.gif" HEIGHT="16" WIDTH="24" ALIGN="bottom" HSPACE="0" VSPACE="0">La gráfica de una función <I>impar</I> es simétrica con respecto al origen de coordenadas.</div> <div> Ejemplos ilustrativos:</div> <div> <IMG SRC="cbe302d0.gif" border=0 width="560" height="45" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <bR> <div> <B> <A NAME="funciones_periódicas"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A></B><B>Funciones periódicas:</B></div> <div> "Se dice que una función <I>f</I> con dominio <I>D</I> es periódica si existe un número real positivo <I>k</I> tal que <I>t</I> + <I>k</I> está en <I>D</I> y <I>f</I> (<I>t + k</I>) = <I>f</I> (<I>t</I>) para todo <I>t</I> en <I>D</I>. Geométricamente esto significa que la gráfica de <I>f</I> se repite cuando las abcisas de los puntos toman valores en intervalos sucesivos de amplitud <I>k. </I>Si existe un mínimo número real positivo <I>k</I> con esta propiedad, se dice entonces que <I>k</I> es el período de <I>f </I>". Ejemplos de funciones periódicas son las funciones trigonométricas. Las funciones seno, coseno, cosecante y secante tienen período 2<FONT SIZE="3" COLOR="#000000" FACE="Symbol" >p</FONT>, y la tangente y la cotangente tienen periódo <FONT SIZE="3" COLOR="#000000" FACE="Symbol" >p</FONT>.</div> <bR> <DIV ALIGN="LEFT"></DIV> <div> <TABLE BORDER="1" CELLPADDING="1" CELLSPACING="1" WIDTH="572" BORDERCOLORLIGHT="#339900" BORDERCOLORDARK="#33FFCC" FRAME="BOX" RULES="ALL" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0" > <tR> <tD VALIGN=TOP COLSPAN=2 BGCOLOR=#33CCCC HEIGHT= 20 WIDTH="562"><div> <B> <A NAME="ejercicios_resueltos"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A></B><B>Ejercicios resueltos</B></div> </tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP COLSPAN=2 HEIGHT= 79 ><NOBR><div> <A HREF="#1" TITLE="Funciones de una variable"><U><IMG SRC="ccba9480.gif" border=0 width="425" height="72" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </NOBR></tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP COLSPAN=2 HEIGHT= 76 WIDTH="562"><div> <FONT SIZE="3" COLOR="#CC0000" FACE="Times New Roman" > E</FONT>n los ejercicio <FONT SIZE="3" COLOR="#CC0000" FACE="Times New Roman" >1</FONT> y <FONT SIZE="3" COLOR="#CC0000" FACE="Times New Roman" >2</FONT>, se definen las funciones <I>f</I> y <I>g</I>. En cada ejercicio defina las siguientes funciones y determine el dominio de la función resultante:</div> <div> (<FONT SIZE="3" COLOR="#CC0000" FACE="Times New Roman" >a</FONT>) <I>f + g</I>; (<FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" >b</FONT>) <I>f - g</I>; (<FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" >c</FONT>) <I>f * g</I>; (<FONT SIZE="3" COLOR="#993366" FACE="Times New Roman" >d</FONT>) <I>f / g</I>; (<FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" >e</FONT>) <I>g / f</I></div> <bR> </tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 48 ><NOBR><div> <A HREF="#2" TITLE="Funciones de una variable"><U><IMG SRC="cccc0180.gif" border=0 width="192" height="24" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </NOBR></tD> <tD VALIGN=TOP WIDTH="280"><div> <A HREF="#3" TITLE="Funciones de una variable"><U><IMG SRC="ccda9290.gif" border=0 width="169" height="41" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP COLSPAN=2 HEIGHT= 63 WIDTH="562"><div> En los ejercicios <FONT SIZE="3" COLOR="#CC0000" FACE="Times New Roman" >4</FONT> a <FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" >7</FONT>, se definen las funciones <I>f</I> y <I>g</I>. En cada ejercicio defina las siguientes funciones y determine el dominio de la función compuesta:</div> <div> <IMG SRC="ccef7150.gif" border=0 width="247" height="21" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> </tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 31 ><NOBR><div> <A HREF="#4" TITLE="Funciones de una variable"><U><IMG SRC="ccfbd150.gif" border=0 width="189" height="21" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </NOBR></tD> <tD VALIGN=TOP><NOBR><div> <A HREF="#5" TITLE="Funciones de una variable"><U><IMG SRC="cd0c0180.gif" border=0 width="192" height="24" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </NOBR></tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 48 ><NOBR><div> <A HREF="#6" TITLE="Funciones de una variable"><U><IMG SRC="cd1d0190.gif" border=0 width="208" height="25" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </NOBR></tD> <tD VALIGN=TOP WIDTH="280"><div> <A HREF="#7" TITLE="Funciones de una variable"><U><IMG SRC="cd29f290.gif" border=0 width="159" height="41" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP COLSPAN=2 HEIGHT= 75 ><NOBR><div> <A HREF="#8" TITLE="Funciones de una variable"><U><IMG SRC="cd50d440.gif" border=0 width="525" height="68" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </NOBR></tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP COLSPAN=2 HEIGHT= 175 ><NOBR><div> <A HREF="#9" TITLE="Funciones de una variable"><U><IMG SRC="cd8e4a80.gif" border=0 width="484" height="168" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </NOBR></tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 82 ><NOBR><div> <A HREF="#10" TITLE="Funciones de una variable"><U><IMG SRC="cd911430.gif" border=0 width="273" height="67" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </NOBR></tD> <tD VALIGN=TOP><NOBR><div> <A HREF="#11" TITLE="Funciones de una variable"><U><IMG SRC="cdd0d4b0.gif" border=0 width="269" height="75" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </NOBR></tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP COLSPAN=2 HEIGHT= 31 ><NOBR><div> <A HREF="#12" TITLE="Funciones de una variable"><U><IMG SRC="14fd7b180.gif" border=0 width="379" height="24" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </NOBR></tD> </tR> </TABLE></div> <bR> <div> <B>S o l u c i o n e s</B></div> <bR> <div> <A NAME="1"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><IMG SRC="ce57f1c0.gif" border=0 width="127" height="28" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <IMG SRC="cec39e00.gif" border=0 width="569" height="480" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <bR> <div> <A NAME="2"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><IMG SRC="cedc0180.gif" border=0 width="192" height="24" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <IMG SRC="cf1ac3f0.gif" border=0 width="428" height="319" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <bR> <div> <A NAME="3"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><IMG SRC="cf2ad290.gif" border=0 width="173" height="41" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <IMG SRC="19ea08080.gif" border=0 width="520" height="520" ALT="Documento Microsoft Office Word" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <bR> <div> <A NAME="4"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><IMG SRC="cf4bd150.gif" border=0 width="189" height="21" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <IMG SRC="cf850d70.gif" border=0 width="336" height="215" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <bR> <div> <A NAME="5"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><IMG SRC="cf9c0180.gif" border=0 width="192" height="24" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <IMG SRC="cfb85e30.gif" border=0 width="389" height="227" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <bR> <div> <A NAME="6"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><IMG SRC="cfcd0190.gif" border=0 width="208" height="25" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <IMG SRC="d0355c00.gif" border=0 width="597" height="448" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <bR> <div> <A NAME="7"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><IMG SRC="d049f290.gif" border=0 width="159" height="41" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <IMG SRC="d0855f70.gif" border=0 width="597" height="503" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <bR> <div> <A NAME="8"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><IMG SRC="d096d150.gif" border=0 width="109" height="21" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <IMG SRC="d0c08630.gif" border=0 width="520" height="99" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <bR> <div> <A NAME="9"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><IMG SRC="d0d57170.gif" border=0 width="87" height="23" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <IMG SRC="1a11a0890.gif" border=0 width="416" height="905" ALT="Documento Microsoft Office Word" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <bR> <div> <A NAME="10"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><IMG SRC="d175f170.gif" border=0 width="95" height="23" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <IMG SRC="d1955ec0.gif" border=0 width="341" height="236" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <bR> <div> <A NAME="11"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><IMG SRC="d1a95180.gif" border=0 width="149" height="24" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <IMG SRC="d1ee4250.gif" border=0 width="484" height="293" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <bR> <div> <FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Arial" ><B> <A NAME="12"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A></B><B>12.</B></FONT> <U>Solución</U>:</div> <div> <IMG SRC="14fe17cb0.gif" border=0 width="279" height="203" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <bR> </td> <td valign="top" width=14 BGCOLOR="#009999" TEXT="#080000"> <bR> </td> </tr><tr> <td valign="top" colspan=3 height=21 BGCOLOR="#009999" TEXT="#080000"> <div> <A HREF="id30_m.htm#ejercicios_resueltos" TARGET="TRLX_Middle" TITLE="Funciones de una variable"><U><B>Ejercicios resueltos</B></U></A></div> </td> </tr></table></body>