SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS

Objetivos del tema:

¨ Identificar los sistemas de ecuaciones lineales con coeficientes constantes y n incógnitas.

¨ Resolver los sistemas de ecuaciones por el método de Gauss.

¨ Clasificar los sistemas lineales según los coeficientes y el número de soluciones.

¨ Discutir los sistemas lineales en función de ciertos parámetros.

¨ Interpretar gráficamente los sistemas de ecuaciones con dos y con tres incógnitas.

El alumno ya conoce los conceptos elementales del Álgebra lineal (ecuación, inecuación, sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas). Ahora vamos a centrarnos en la resolución de sistemas formados por n ecuaciones con m incógnitas.

El núcleo central del tema será el método de Gauss denominado también de reducción, de triangulación o de cascada, se puede generalizar fácilmente a sistemas con cualquier número de ecuaciones y de incógnitas.

Se basa en una idea muy simple, dado un sistema de n ecuaciones con n incógnitas, se trata de obtener un sistema equivalente, cuya primera ecuación posea n incógnitas, la segunda n-1, y así sucesivamente hasta llegar a la última que deberá tener únicamente una incógnita. Con este procedimiento se resuelve la última ecuación, luego la penúltima y así hasta llegar a la primera.

Veámoslo detalladamente.

EN ESTE TEMA TRATAREMOS LOS SIGUIENTES CONTENIDOS:

1. Sistemas de ecuaciones lineales.

2. Método de Gauss.

3. Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales.

4. Discusión de un sistema de ecuaciones lineales.

5. Eliminación de parámetros.

6. Interpretación geométrica de los sistemas de ecuaciones lineales.

1. Sistemas de ecuaciones lineales.

Se llama sistema lineal de n ecuaciones con m incógnitas a un conjunto de igualdades del tipo:

en las que:

se llaman coeficientes y son números reales conocidos.

son las incógnitas cuyo valor hemos de averiguar.

son también números reales conocidos y se llaman términos independientes.

Se dice que un conjunto de números reales es una solución des sistema si cada s_j sustituido en lugar de cada x_j hace que las n igualdades sean verdaderas, esto es, en cada ecuación con , se cumple:

Resolver un sistema es encontrar todas las soluciones caso de que existan.

Se dice que dos sistemas son equivalentes si tienen las mismas soluciones.

Dado un sistema de n ecuaciones con m incógnitas, se pueden obtener sistemas equivalente a él mediante las transformaciones siguientes:

1) Multiplicando todos los términos de cualquiera de las ecuaciones por un número real no nulo, en efecto:

Si es una solución del sistema expresado en el encabezamiento, multiplicando la ecuación i-ésima por k quedará:

Y sacando k factor común en el primer miembro:

Y al ser S un conjunto solución, la suma expresada por el paréntesis es b_i con lo que obtenemos una identidad. Como además las n-1 ecuaciones restantes no las hemos modificado, S también será solución para ellas.

2) Sustituyendo una ecuación por una suma o diferencia de ella con otra u otras, en efecto:

Si sustituimos la ecuación i-ésima por la suma o resta de ella con la k-ésima, quedarán todas las ecuaciones iguales y, por tanto S seguirá siendo solución de ellas, salvo la i-ésima que ahora será:

donde eliminando los paréntesis y ordenando los términos queda:

Que es evidentemente una identidad.

3) Sustituyendo una ecuación por el resultado de multiplicarla por un número real no nulo y sumarle o restarle otra ecuación multiplicada por otro número real no nulo.

Este caso es la combinación de las dos transformaciones anteriores y, por tatno, la demostración de aquéllas sirve como demostración de esta.

Mediante estas transformaciones queremos lograr transformar el sistema inicial en otro equivalente pero más sencillo (con menos ecuaciones y/o incógnitas y así tener un método sistemático de resolución.

Este procedimiento sistemático nos lo va a proporcionar el método de Gauss que veremos a continuación.

2. Método de Gauss.

Este método no es mas que la generalización del método de reducción ya conocido para resolver sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.

Se trata de, utilizando las transformaciones de equivalencia vistas en el punto anterior, lograr que algunos de los coeficientes de las incógnitas sean nulos. El procedimiento es:

1) Se elige una incógnita con coeficiente no nulo al que llamaremos pivote y que por comodidad supondremos que es el a₁₁ (si no es este, siempre podemos alterar el orden de los términos en todas las ecuaciones para situar el pivote en el lugar inicial).

2) A la segunda ecuación le sumamos la primera multiplicada por , a la tercera le sumamos la primera multiplicada por y así sucesivamente hasta llegar a la última en la que se sumará la primera multiplicada por . Con ello es sistema quedará así:

sistema equivalente al primero

3) Si separa la primera ecuación se obtiene otro sistema con una ecuación y una incógnita menos en el que podemos repetir el proceso, hasta que podamos despejar, en alguna ecuación, alguna incógnita.

4) Es más cómodo abreviar la escritura del sistema escribiendo sólo los coeficientes y los términos independientes en forma de matriz numérica recordando qué columna corresponde a cada incógnita (por si ha sido preciso cambiar alguna columna de lugar)

Ejemplo: resolver el sistema:

Tomando como orden inicial de las incógnitas el dado por el orden alfabético de las letras que las representan, podemos escribir la siguiente matriz de Gauss:

Dejando la primera fila igual y sustituyendo la segunda por el resultado de retarla a la 1ª, y la tercera por el resultado de restarla a la primera, queda:

Tomamos ahora como pivote el 1 de la segunda fila y segunda columna y procedemos dejando iguales la primera y segunda filas y sustituyendo la tercera por el resultado de restarla con la segunda y la 4ª por el resultado de restarla con la 2ª, queda:

Ahora el pivote será el -1 de la posición 3 (fila), 3(columna). Dejamos las tres primeras iguales y sustituimos la 4ª por el resultado de multiplicar la 3ª por 2 y restar la 4ª:

Recordando que la 4ª columna es la de los coeficiente de la incógnita "t" y la 5ª es la de los términos independientes, de la última fila queda:

De la tercera fila:

De la 2ª fila:

De la primera:

La solución es

Veamos por sustitución en el sistema inicial que efectivamente es solución:

todas las igualdades son identidades y la solución encontrada es correcta.

El hecho de encontrar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales es un procedimiento para resolver problemas cuyo planteamiento algebraico da lugar a dicho sistema, esto es, queremos resolver problemas de la vida diaria mediante sistemas de ecuaciones lineales.

El procedimiento de resolución de problemas consta de tres partes:

¨ Elección de las incógnitas y planteamiento del sistema.

¨ Resolución del sistema.

¨ Comprobación de la solución o soluciones obtenidas.

Ejemplo:

Lewis Carrol, autor de Alicia en el País de las maravillas, propone un problema que puede enunciarse así: "El consumo en una cafetería de un vaso de limonada, tres sandwiches y siete bizcochos, ha costado 1 chelín y 2 peniques, mientraas que una limonada, cuatro sandwiches y diez bizcochos vale un chelín y 5 peniques. Hallar cuál es el precio de:

1º) Un vaso de limonada, un sandwich y un bizcocho.

2º) Dos vasos de limonada, tres sandwichews y cinco bizcochos.

(Un chelín vale 12 peniques)

Planteo:

Sean:

X= precio de un vaso de limonada.

Y= precio de un sandwich.

Z= precio de un bizcocho.

Según el enunciado se tiene:

tratándose de un sistema lineal de dos ecuaciones con tres incógnitas:

Resolución:

La matriz de Gauss es:

Restando la 2ª de la 1ª filas:

De la última fila se tiene que:

Y sustituyendo en la primera fila:

Y podemos expresar las incógnitas x e y en función de z.

El precio de un vaso de limonada, un sandwich y un bizcocho será:

Y el precio de dos vasos de limonada, tres sandwiches y cinco bizcochos es:

Comprobación de la solución:

La solución general, en función de z es:

sustituyendo en las tres ecuaciones iniciales:

ambas son identidades.

3. Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales.

Un sistema lineal se llama homogéneo si todos los términos independientes son cero, en caso contrario se llama no homogéneo o heterogéneo.

Un sistema lineal se llama compatible si admite solución, en caso contrario se llama incompatible.

Un sistema compatible se llama determinado, si la solución es única o tiene un número finito de soluciones, en caso de infinitas soluciones se llama compatible e indeterminado.

Con todas estas definiciones podemos establecer la siguiente clasificación de los sistemas lineales:

Como puede observarse un sistema homogéneo nunca es incompatible pues siempre admite al menos la solución trivial (0, 0, 0).

4. Discusión de un sistema de ecuaciones lineales.

Efectuar la discusión de un sistema de ecuaciones lineales es clasificarlo según el esquema anterior y, en caso de ser compatible, encontrar sus soluciones.

Al resolver un sistema de n ecuaciones con m incógnitas por el método de Gauss puede ocurrir:

a) Al anular en la matriz de Gauss todos los términos por debajo de la diagonal principal, obtenemos r filas todas de ceros, en este caso, las podemos eliminar y nos quedará un sistema de n-r ecuaciones con m incógnitas, podemos considerar las n-r primeras incógnitas como principales y las otras r como secundarias. El sistema será compatible e indeterminado con r grados de libertad. La solución general la podemos expresar en función de las r incógnitas secundarias y, dando a éstas valores arbitrarios obtenemos infinitas soluciones particulares.

b) Al anular en la matriz de Gauss todos los términos por debajo de la diagonal principal, obtenemos una fila con todo ceros salvo el término independiente que es distinto de cero, el sistema no tiene solución (no es posible dividir por cero) y es incompatible (en los homogéneos esto no puede cocurrir).

c) Al anular en la matriz de Gauss todos los términos por debajo de la diagonal principal, obtenemos una fila con un coeficiente no nulo y el término independiente no nulo, o, en los homogéneos un coeficiente no nulo y el término independiente nulo la solución es única y el sistema es compatible y determinado.

Veamos varios ejemplos

Discutir y resolver el sistema:

En principio es un sistema homogéneo y, por tanto al menos admite la solución x=y=z=0 luego es compatible. Veamos la matriz de Gauss:

Donde, el la segunda matriz hemos cambiado la 2ª columna por la 1ª para que l pivote sea 1, luego en la 3ª matriz hemos dejado igual la primera fila, la segunda es la 1ª fila por 2 y sumada con la 2ª y la 3ª fila es la suma de la 1ª y la 3ª. En la cuarta matriz hemos dejado iguales las 2 primeras filas y la 3ª es la 2ª multiplicada por 4/4 y restada con la 3ª.

De la última fila de la última matriz tenemos:

De la 2ª fila:

Y de la 1ª fila:

El sistema sólo admite la solución trivial y es homogéneo compatible y determinado.

Discutir el sistema:

La matriz de Gauss es:

Prescindimos de la última fila y en la segunda:

Y en la primera:

Se trata de un sistema no homogéneo compatible e indeterminado con un grado de libertad. Tomando z como incógnita auxiliar, la solución general es:

Para cada valor que demos a "z" hay una solución particular, por tanto tiene infinitas soluciones.

En ocasiones la discusión de un sistema depende de uno o varios parámetros dependiendo de cuyos valores el sistema es de una u otra clase.

Veamos un ejemplo con un parámetro:

Discutir en función de a el sistema:

Tenemos:

De la última fila:

Entonces se pueden dar dos casos:

¨ Si a=-2, z no es calculable y el sistema es incompatible.

¨ Si a es distinto de -2 el sistema es compatible y determinado siendo la solución, en función de a:

Ahora veamos otro ejemplo con dos parámetros:

Discutir en función de "a" y "b" el sistema:

Formamos la matriz de Gauss:

Se cumplirá que:

Pudiendo ocurrir tres casos:

Caso 1: si

Podemos prescindir de la última fila de la matriz por ser nula y el sistema es compatible e indeterminado con un grado de libertad. Tomando z como incógnita auxiliar, tenemos de la 2ª fila:

Y de la primera fila:

La solución general es, pues

Caso 2: Si

El sistema es compatible y determinado, tiene solución única. El valor de z encontrado más arriba es:

Que sustituido el la 2ª fila da para y:

Y en la 1ª fila tenemos para "x":

Siendo la solución única:

Caso 3: Si

Entonces el sistema es incompatible ya que el valor de z despejado más arriba no está definido.

5. Eliminación de parámetros.

Supongamos ahora un sistema de ecuaciones compatible e indeterminado en el que conocemos el valor de las incógnitas en función de uno o varios parámetros y deseamos escribir el sistema de ecuaciones que tiene esa solución. A esto se le llama eliminación de parámetros y tiene un gran uso en la geometría analítica.

Se procederá por el método de Gauss pero considerando como incógnitas los parámetros.

Sean por ejemplo:

donde a y b pueden ser números reales cualesquiera. Queremos formar un sistema de ecuaciones que tenga esa solución indeterminada y en el que no aparezcan ni a ni b. Considerando estos como incógnitas y x, y, z como términos independientes formamos la matriz de Gauss:

Y el sistema será compatible sólo si se cumple: que es sistema buscado ya sin parámetros.

Elimina los parámetros en el siguiente sistema:

Se tiene considerando m y n como incógnitas y formando la matiz de Gauss:

Que será compatible si se cumple:

Que es la ecuación sin parámetros buscada y que es incompatible con dos grados de libertad siendo la solución general la dada por el sistema inicial.

6. Interpretación geométrica de los sistemas de ecuaciones lineales.

Este apartado sería conveniente que se estudiase después de haber tenido conocimiento profundo de la geometría analítica del espacio que veremos en temas posteriores y de la geometría analítica del plano ya vista el curso anterior:

Recordemos que en el plano afín, la ecuación general de una recta es de la forma:

En el espacio afín, la ecuación de un plano es de la forma:

a) Interpretación geométrica en el plano:

Según lo dicho arriba, en un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, cada ecuación representa una recta en el plano. Las dos rectas del sistema sólo pueden tener tres posiciones relativas y cada posición corresponde a una posible clasificación del sistema de ecuaciones. Puede ocurrir:

1) Las dos rectas son secantes. Se cortan en un punto.- En este caso el sistema es compatible y determinado y la solución única nos da las coordenadas del punto solución.

2) Las dos rectas son paralelas.- El sistema es incompatible.

3) Las dos rectas son coincidentes.- El sistema es compatible e indeterminado con un grado de libertad.

Estudiar la posición relativa de las rectas del sistema

Resolviendo por Gauss:

Se trata de un sistema incompatible y las rectas son paralelas. En el gráfico adjunto se muestran ambas rectas dibujadas en unos ejes de coordenadas cartesianas.

b) Interpretación geométrica en el espacio:

En un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas, cada ecuación representa un plano en el espacio. Los tres planos del sistema sólo pueden tener las siguientes posiciones relativas y cada posición corresponde a una posible clasificación del sistema de ecuaciones. Puede ocurrir:

1) Los tres planos se cortan en un punto único.- El sistema es compatible y determinado.

Los planos estarían como en el dibujo:

I. Los tres se cortan en un solo punto

2) Los tres planos se cortan en una recta, el sistema es compatible e indeterminado con un grado de libertad. Pude haber dos posibilidades

II. Dos coinciden y otro no III. No coincide ninguno.

Hay que estudiar las ecuaciones dos a dos

3) Los tres planos son coincidentes.- El sistema es compatible e indeterminado con dos grados de libertad.

IV. Los tres coinciden

4) Los tres planos no tienen ningún punto en común.- El sistema es incompatible

V. Dos coinciden y el otro es paralelo