MAS y MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
Vamos a establecer una relación entre un
movimiento vobratorio armónico simple y el movimiento circular uniforme. Esto nos va a
permitir dos cosas:
- Hallar la ecuación del MAS sin tener que
recurrir a cálculos matemáticos complejos.
- Conocer de donde vienen algunos de los conceptos
que usamos en el MAS, como frecuencia angular o el desfase.
Observa el applet que viene a continuación. Para
lanzarlo pulsa Start. Tomemos inicialmente el resorte azul, que oscila verticalmente. En
la circunferencia tienes un punto negro que gira con movimiento circular uniforme,
ocupando en cada instante una posición en la circunferencia. Traza mentalmente la
proyección de esa posición sobre el diámetro vertical de la circunferencia. En cada
momento, la masa que cuelga del resorte ocupa una posición determinada. Observa que
la posición de la masa del resorte coincide exactamente con la proyección de la
posición del objeto sobre el diámetro, que verás en forma de línea azul en el
diámetro vertical. Es decir, como resumen, cuando un objeto gira
con movimiento circular uniforme en una trayectoria circular, el movimiento de la
proyección del objeto sobre el diámetro es un movimiento armónico simple.
Lo mismo podríamos decir del resorte amarillo y la
proyección sobre el diámetro horizontal, que verás como un trazo amarillo sobre dicho
diámetro.
Los vectores azul y amarillo, que varían en el
applet, corresponden al valor de la velocidad del resorte, azul para diámetro vertical y
amarillo para el horizontal. Observa su variación y comprobarás que la velocidad es
máxima en el centro de equilibrio del resorte y mínima en los extremos, en los puntos de
mínima y máxima elongación. Observa también como el vector rojo de la gráfica de la
derecha, la velocidad del MAS, coincide con el vector azul, la velocidad de la proyección
sobre el diámetro vertical, lo que supone una prueba más de lo que hemos afirmado
anteriormente.
CÁLCULO DE LA ECUACIÓN DEL MAS
Una vez que hemos estblacido la relación entre
movimiento circular uniforme y MAS, vamos a utilizarla para hallar la ecuación del MAS.
| Observa el
gráfico. Un móvil parte de O, recorriendo la circunferencia con una velocidad angular
constante w. Al
cabo de un cierto tiempo, ha barrido un determinado ángulo, llamado espacio angular. Como
es un movimiento circular uniforme, podemos escribir: Espacio angular = w t
La proyección de la posición en ese
instante, determina la elongación del MAS asociado, x, que en el triángulo en azul nos permite escribir: |
|
x
= A sen(w t)
ya que la hipotenusa del triángulo es
el radio de la circunferencia y, a su vez, el mayor valor que toma la elongación, o sea:
la amplitud. Esta es la ecuación del MAS.
En el applet siguiente vamos a comprobar
visualmente esto que hemos dicho. Al pulsar el botón, se abrirá una ventana, donde
verás un applet. Se abrirá una segunda ventana, donde estarán los controles del applet:
Play (inicio), Back (para ir hacia atrás paso a paso), Forward (para ir hacia adelante
despacio), Pause y Reset (volver al principio).
Pulsa Play y como gira demasiado deprisa, pulsa
Pause. Ahora, pulsando Forward, consiguues que avance paso a paso y observa:
1.- A la derecha tienes el movimiento armónico
simple, correspondiente a la proyección sobre el diámetro vertical. Según avanza el
móvil por la circunferencia, estudia lo que le pasa a la velocidad del MAS (vector azul). Fíjate en qué posiciones alcanza los valores máximo y
mínimo de la misma, tanto para el MAS como para el movimiento circular uniforme asociado.
2.- Repite la operación pero estudia la
aceleración (vector rojo). Comprueba si velocidad y
aceleración tienen el mismo sentido siempre.
3.- Repite ambos pasos para la proyección
horizontal, que corresponde al MAS que está debajo de la circunferencia. ¿encuentras
alguna diferencia?
CÁLCULO DE LA ECUACIÓN DEL MAS CON DESFASE
A veces puede suceder que el punto donde empezamos
a medir el espacio angular que recorre el móvil con movimiento circular, no coincide con
el punto donde empezamos a medir el tiempo. Entonces decimos que existe un desfase q. Este desfase debemos tenerlo en cuenta para
el cálculo de la elongación.
| Observa el gráfico. El
móvil parte de O, origen de espacios, pero no comenzamos a contar el tiempo hasta que
llega a P, origen de tiempos. Nuevamente, por trigonometría, en el triángulo azul,
podemos escribir: x = A sen(w t + q)
esta es la ecuación de la posición
de un movimiento vibratorio armónico simple, donde aparecen las siguientes magnitudes: |
 |
- x: elongación, posición en cualquier instante.
- A: amplitud, máximo valor de la elongación.
- w: frecuencia angular, velocidad angular del movimiento circular
asociado.
- q: desfase, ángulo recorrido entre el origen de espacios y el origen
de tiempos.
Con el applet siguiente vamos a observar
visualmente el concepto de desfase. Al pulsar el botón se abrirá una ventana con el
applet. Inicialmente no cambies los valores de amplitud, frecuencia y fase angular
(desfase). Para lanzarlo pulsa empezar. Observa:
1.- El punto donde comienza a moverse el móvil en
la circunferencia. Como el desfase es cero, coinciden origen de espacios y origen de
tiempos. En la gráfica de la posición frente al tiempo, se observa que el MAS comienza
en el punto medio o de equilibrio.
2.- Cambia el valor del desfase. Puedes elegir un
valor entre 0 y 360 grados. Para hacerlo, haz click en la casilla adecuada, borra su
contenido, coloca un ángulo determinado (empieza con un desfase de un ángulo pequeño,
por ejemplo 45 grados) y pulsa Empezar. Observa donde comienza ahora el móvil.
¿Notas alguna diferencia en la gráfica? ¿Qué conclusión extraes de la misma?.
3.- Introduce otros valores de desfase y observa
tanto el resorte como la gráfica, hasta que seas capaz de comprender bien el concepto de
desfase.
4.- Ahora modifica libremente la amplitud,
manteniendo constantes las otras dos variables. Puedes tomar valores entre 0.5 y 2
(¡ojo!, el decimal con un punto). ¿Qué variación observas?
5.- Por último, modifica libremente la frecuencia.
Admite valores entre 1 y 2. ¿Qué deduces del cambio de frecuencia, manteniendo los otras
dos variables fijas?
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