Fractales en diferentes ámbitos
Encontrar fractales, por ejemplo en la naturaleza, resulta muy fácil. Y es que los fractales tienen menor o mayor presencia en los diferentes entornos y objetos que podemos encontrar en la realidad.
Posiblemente el caso más espectacular es la demostración de que la música clásica contiene formas fractales en su interior. La música clásica de Beethoven es un ejemplo muy representativo.
Pero también existe poesía fractal e incluso formas de escritura
fractal que ponen de manifiesto la relación que existe entre la
realidad y las matemáticas.
Beethoven, junto con Bach y Mozart pasaron a la historia como grandes compositores de obras clásicas de increíble majestuosidad y belleza. Pero lo que reveló hace años el estudio de los fractales es que también están integrados en obras clásicas.
El método que siguieron estos compositores, ya sea de manera intencionada o no, para integrar fractales y matemáticas era mediante una analogía entre una dimensión fractal y el número y la disposición de las diferentes notas de una obra o pieza.
A continuación hay un completo análisis de la pieza “Primera Escossaien” de Beethoven donde se demuestra que existe una estructura fractal interna en la obra.
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Como la imagen muestra la pieza esta formada por un total de 32 unidades
o compases que se dividen en 2 secciones de 16 unidades cada una. A: de
la 1 a la 16; B: de la 17 a la 32. A su vez se dividen en 2 períodos.
Periodo A: 1 y 2; periodo B: 3 y 4, que se fraccionan en 2 partes: a y
a' compuestas por 4 unidades (1, 2, 3, 4) agrupadas cada una de a 2 (1
y 2). En conjunto pues la obra se divide en 32 --> 16 --> 8 --> 4
--> 2, una sucesión binaria que goza de autosimilitud propia
de una estructura fractal.
Pero la unión música-fractal no queda ahí. Actualmente algunos sintetizadores son usados para crear música techno con bases fractales. También hay autores que están experimentando con este tipo de música que promete. Richard F. Voss – físico estadounidense – conjetura que existe una filiación entre la manera en que nuestro sistema sensorial envía la información al sistema nervioso y las dimensiones fractales de manera que la música con estructura fractal es grata al oído humano.
El programa Generador Voss de música fractal que acompaña el trabajo es un pequeño ejemplo de cómo integrar música y fractales. El programa reproduce el método que Richard F. Voss propone para crear melodías fractales.
El funcionamiento es el siguiente:
1.- Se escogen tres dados de diferentes tamaños pero de 6 caras.
2.- En la primera tirada se lanzan los tres y se anota la suma de los tres
valores obtenidos.
3.- En la tirada 2 se lanzan los dados pequeño y mediano y se suman
los resultados junto al primer valor del dado mayor.
4.- En la tirada 3 se lanza el pequeño y se suma el valor obtenido a
los valores del mayor de la primera tirada y del mediano de la segunda tirada.
5.- Se reinicia el proceso y se continúa ad infinitum.
Ejemplo:
Paso |
Dados |
Valores obtenidos |
Suma |
1 |
Mayor, mediano y menor |
5, 3, 6 |
5 + 3 + 6 = 14 |
2 |
Mediano y menor |
2, 1 |
5 + 2 + 1 = 8 |
3 |
Menor |
3 |
5 + 2 + 3 =10 |
4 |
Mayor, mediano y menor |
1, 4, 3 |
1 + 4 + 3 = 8 |
… |
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Si a estos valores les hacemos corresponder un determinado sonido de un
instrumento o simplemente un tono se obtienen melodías que bien
parecen creadas artificialmente aún habiendo sido creadas aleatoriamente.
Encontrar fractales en la naturaleza es tan sencillo como alzar la vista al cielo, y es que las nubes tienen forma y dimensión fractal (figura 1). Más allá, las galaxias también tienen estructura fractal. Si por el contrario miramos una parcela de terreno desecada (figura 2) veremos un fractal del tipo árbol. Una coliflor veremos los siguiente figura 3. Si cortamos esa coliflor podemos ver como la estructura se repite como muestra la figura 4. La coliflor pues goza de autosimilitud. Aún más, si medimos su perímetro éste aumenta a medida que medimos trozos más pequeños, ergo la coliflor goza de dimensión fractal. Para la medición del perímetro se puede usar un hilo que vaya resiguiendo el perímetro de la coliflor (una sección de 2 cm. de grosor es suficiente).
También las ramificaciones de los árboles se asemejan a estructuras y modelos fractales. Hay árboles como el helecho que sus hojas están formadas por pequeñas partes autosemejantes (ver figura 5). Nuestro cuerpo también tiene estructura fractal, o al menos su interior ya que la distribución de nuestras venas y capilares es muy similar. Por ejemplo nuestra red arterial y venosa cubre todo nuestro cuerpo a pesar de representar una pequeña fracción del mismo.
Queda demostrado que vivimos en un mundo formado por fractales. Seguramente la ciencia en unos años nos demuestre que el resto del universo también tiene estructura fractal.
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| Figura 1. Las nubes tienen estructura y forma fractal. | Figura 2. Terreno desecado donde las grietas forman una estructura fractal. |
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| Figura 3. Coliflor común (Brassica oleracea botry). | Figura 4. Coliflor común partida. Nótese la similitud con la Figura 3. |
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| Figura 5. Hoja de helecho creada a partir de un fractal | Figura 6. Capilares presentes en el corazón. Se asemejan en gran manera a un fractal del tipo árbol. |
Los fractales han llegado hasta el ámbito de la lengua. Es el caso de la poesía fractal.
En noviembre de 2004 tuve la ocasión de asistir a una conferencia, en concreto a “Poemàtics: matemàtiques i poesia, una aproximació” celebrada en la “Residència d’Investigadors de Barcelona” donde el poeta irlandés Desmond Egan leyó varios poemas con estructura fractal a dos voces. El cuadro 1 muestra uno de esos poemas de Egan.
| Akeldama
you can discover them roped across the 350 Kildaremen eliminated by their shouts and sobs still never can I pass without getting never and often I imagine |
evening of the human beginning to blacken of tose who true spartans |
Traducción de Dolors Udina:
*Haceldama: campo que Judas compró con las 30 monedas. (Hecho de
los Apóstoles, 1; 18-19)
pots descobrir-los lligats a través / de la calçada cap a
l’interior // els 350 homes de Kildare eliminats per / paisans del
jutge Clinch / a Gibbet Rath el 1789 // els seus crits i laments encara
/ ressonen silenciosos a través dels camps / com la mort de Crist
a la campaneta d’ hivern // no puc mai passar-hi sense sentir / l’olor
ds sang fresca // mai // i tot sovint m’ imagino / què podria
significar / ser jueu
vespre / dels humans // comença a ennegrir-se / de gas i pols / dels habituals / gairebé anònims / dits enguantats // d’ aquells que / només podien / ser destruïts // veritables espartans / incapaços de deixar / res d’ells / mateixos
Ramón Dachs propone un tipo de escritura fractal basada en los conceptos: materia, conflicto, resolución. Un ejemplo de este tipo de escritura:
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En Codex Mundi de Ramón Dach se profundiza en este tipo de escritura fractal y se proponen nuevas formas de escritura.
Las formas de arte nuevas no han dejado escapar a los fractales. Artistas como Linda Allison, Robert William, Mark Townsend, Paul DeCelle, Dan Kuzmenka utilizan programas informáticos para obtener imágenes fractales y componen verdaderas obras de arte con ellas.
El proyecto The fractal Alhambra Project consistió en reproducir partes de la Alhambra con fractales.
Los resultados fueron impresionantes. La figura 7 es un ejemplo de ello.
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| Figura 7. Creado por Linda Allison para The fractal Alhambra Project |
Se pueden encontrar verdaderas obras de arte que nada tienen que envidiar a los tradicionales lienzos. Hubiera sido interesante ver que hubiera hecho Velázquez con una computadora y un programa para representar fractales.
Explorar, por ejemplo, el fractal de Mandelbrot puede dar resultados increíbles.
Sólo hay que elegir qué combinación de colores aplicar
y qué área del plano complejo representar.
Maurits Cornelis Escher (1898-1972), fue un dibujante holandés. Sus litografías y grabados han ilustrado muchísimas páginas de libros.
La obra de Escher presenta numerosos rasgos fractales a pesar de que se desconoce si investigó y se documentó sobre el tema.
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En su honor nacieron los fractales “escherianos”, fue como un pequeño reconocimiento que se le hizo ya que él los descubrió sin necesidad de fórmulas matemáticas tan sólo con su imaginación.
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| Figura 13. Fractal “escheriano”: Julia-escher. |
En 1987 Michael F. Barnsley, matemático inglés, descubrió que los fractales podían servir para comprimir imágenes. Su patente número 4.941.193 restringía el uso de la tecnología de compresión de imágenes y es que las patentes de software son impedimentos para la mejora y la evolución de la informática.
Comprimir imágenes mediante el algoritmo de compresión fractal se basa en lo siguiente:
1.-Se analiza la imagen en busca de puntos similares
2.-Se procede a buscar
fórmulas matemáticas que describan
estos puntos similares.
3.-Los puntos que no son similares se comprimen
mediante otro algoritmo.
4.-Se guarda el archivo comprimido.
Sus resultados son pobres y de baja calidad, actualmente la técnica de compresión fractal no supera el estándar de compresión de imágenes JPEG ni el JPEG2000.
Con toda seguridad si se liberara este algoritmo en cuestión de meses se convertía en un nuevo estándar y se mejoraría en velocidad y efectividad.
