Fractales
2.1- Un poco de historia: los orígenes
La matemática fractal había sido, hasta los años 70, relegada a los pies de página o a los márgenes. Cuando algún matemático se encontraba con un monstruo lo consideraba una mera anécdota.
En 1919 Hausdorff ideó un método para medir las dimensiones
y medidas de los fractales, el llamado medida y dimensión Hausdorff.
Al año siguiente Besicovitch, interesado por el trabajo de Hausdorff,
en particular por la dimensión Hausdorff 1 creó la teoría
geométrica de la medida.
En 1963 Edward Lorenz, meteorólogo, intuía el efecto mariposa al redondear unos decimales en su programa de ordenador que simulaba situaciones meteorológicas. Al variar ligeramente el número de decimales después de la coma e introducir los resultados en su ordenador el programa devolvió unos resultados sorprendentemente diferentes a los anteriores. El caos matemático había nacido.
Efecto mariposa: Esta expresión proviene del hecho que el aleteo de una mariposa en un remoto lugar de la Tierra puede originar un tornado en otro lugar. Exageraciones a parte, el caos demuestra que unas ligeras variaciones en las condiciones iniciales pueden originar resultados impredecibles.
Gastón Julia (1893-1978) fue uno de los grandes precursores de la
matemática fractal. Nacido en 1893 fue herido en la cara durante
la Primera Guerra Mundial. Durante su estancia en el hospital se interesó por
las iteraciones de funciones complejas y finalmente publicó el artículo “informe
sobre la iteración de las funciones racionales” de 199 páginas
en la revista francesa Journal de Mathématiques Pures et Apliques.
Ello le mereció un galardón por parte de la Academia de ciencias
de Francia. En este artículo se mostraba lo que más tarde
se tratará en este trabajo, el conjunto de Julia.
Benoît Mandelbrot (1924), en los años 70 y posteriores, se
interesó mucho por la posibilidad de que una regla o cierto tipo
de orden determinaran el ruido que se proyectaba en las comunicaciones
entre ordenadores. Este ingeniero de l’Ecole Politecnique de París
y actualmente IBM Fellow en el J.J. Watson Research Center y profesor de
matemáticas en la universidad de Harvard había dado el primer
gran paso al publicar el libro sobre el cual reposan los fundamentos de
la matemática fractal: The Fractal Geometry
of Nature (La geometría
fractal de la naturaleza 1977, 1982, 1983).
En 1987, el matemático inglés Michael F. Barnsley descubrió la
transformación fractal, capaz de detectar fractales en fotografías
digitalizadas. Ello permitió crear la compresión fractal
para imágenes que obtiene resultados aceptables pero muy inferiores
a la compresión JPEG o JPEG2000. Pero quizá el verdadero
protagonista de la historia fractal haya sido el ordenador. Ese gran invento
que revolucionó el mundo permitió dar pasos agigantados en
numerosas ciencias, entre ellas la matemática. Los fractales quizá no
hubieran sido objeto de estudio si no hubieran existido ordenadores o hubieran
seguido siendo monstruos destinados a los pies de página o márgenes.
2.2- La necesidad de una nueva geometría: Geometría fractal versus Geometría euclidiana
La geometría euclidiana ha simplificado las irregularidades. En concreto ha linealizado las leyes, ha hecho una aproximación de la ley real y ha regularizado las formas geométricas, es decir, suponer suaves o lisas líneas o superficies que en rigor no lo son.
Recientemente se ha descubierto que la naturaleza es caótica, sus leyes a veces se comportan de una manera determinista y caótica de manera que un ligero aumento de temperatura en un lugar de la Tierra puede tener consecuencias previsibles pero indeterminadas. La naturaleza es irregular.
Por ese motivo surgió lo que hoy conocemos como geometría
fractal, una parte de la matemática que se encarga de encontrar
un orden y una regla en ese caos natural igual que Dedekind racionalizó el
número irracional.
Dar una definición correcta y sencilla de fractal no es fácil.
La palabra “fractal” proviene del latín fractus, que significa “fragmentado”, “fracturado”, o simplemente “roto” o “quebrado”, muy apropiado para objetos cuya dimensión es fraccionaria. El término fue acuñado por Benoît Mandelbrot en 1977 aparecido en su libro The Fractal Geometry of Nature. Al estudio de los objetos fractales se le conoce, generalmente, como geometría fractal.
Un fractal es un conjunto matemático que puede gozar de autosimilitud a cualquier escala, su dimensión no es entera o si es entera no es un entero normal. El hecho que goce de autosimilitud significa que el objeto fractal no depende del observador para ser en sí, es decir, si tomamos algunos tipos de fractales podemos comprobar que al hacer un aumento doble el dibujo es exactamente igual al inicial, si hacemos un aumento 1000 comprobaremos la misma característica, así pues si hacemos un aumento n, el dibujo resulta igual luego las partes se parecen al todo.
Un conjunto u objeto es considerado fractal cuando su tamaño se
hace arbitrariamente mayor a medida que la escala del instrumento de medida
disminuye. Por ejemplo:
Sea C una curva cualquiera y k la escala del instrumento de medida. Si
el límite para cuando k se hace infinitamente pequeño y C
tiende a infinito entonces se considera fractal.
Hay muchos objetos ordinarios que, debido a su estructura o comportamiento, son considerados fractales naturales, aunque no los reconozcamos. Las nubes, las montañas, las costas, los árboles y los ríos son fractales naturales aunque finitos ergo no ideales; no así como los fractales matemáticos que gozan de infinidad y son ideales.
Algunas definiciones sencillas extraídas de ensayos y libros acerca del tema:
- Modelos infinitos comprimidos de alguna manera en un espacio finito
- Bellísimos y fascinantes diseños de estructura y complejidad infinita.
Resumen de las propiedades de los fractales:
- Dimensión no entera.
Como se mostrará en el apartado siguiente la dimensión de un fractal no es un número entero sino un número generalmente irracional. - Compleja estructura a cualquier escala.
Los fractales muestran estructuras muy complejas independientemente de la escala a la cual lo observemos. - Infinitud.
Se consideran infinitos ya que a medida que aumentamos la precisión del instrumento de medición observamos que el fractal aumenta en longitud o perímetro. - Autosimilitud en algunos casos.
Existen fractales plenamente autosimilares de manera que el todo está formado por pequeños fragmentos parecidos al todo.
La geometría tradicional o euclidiana distingue las siguientes dimensiones: -1, 0, 1, 2, 3.
o Dimensión -1
Realmente esta dimensión representa el vacío.
o Dimensión 0
Un punto no tiene dimensión alguna porque no tiene longitud, anchura
o profundidad.
o Dimensión 1
Una línea (formada por infinitos puntos) es unidimensional ya que
sólo tiene longitud. Si dividimos por la mitad la medida de la longitud
de un objeto unidimensional, obtenemos dos objetos pequeños de idéntica
apariencia al objeto original
o Dimensión 2:
Un plano es bidimensional porque tiene longitud y anchura. Si lo dividimos
por su longitud y su anchura obtenemos 4 planos.
o Dimensión 3:
Un cubo es tridimensional ya que tiene longitud, anchura y profundidad.
Si dividimos exactamente por la longitud, la anchura y la profundidad
obtenemos 8 cubos más pequeños.
De estas observaciones se puede concluir que la duplicación ocurre a razón exponencial de 2, 4, 8 y así sucesivamente. Aritméticamente, estos números pueden expresarse como:
Siendo P las porciones obtenidas del número de divisiones
n elevado
a la dimensión D.
Si examinamos el valor del exponente en cada caso, encontramos que éste
es idéntico al valor de la dimensión de cada objeto: 1,
2 y 3. Así pues esta forma de calcular la dimensión de
un objeto resulta totalmente válida.
¿Pero qué pasa cuando medimos la dimensión de un fractal?
Tomando de ejemplo el triángulo de Sierpinski (es un fractal muy
autosimilar y sencillo de dibujar como se verá en los siguientes
apartados) y siguiendo el ejemplo anterior
Hallamos pues una dimensión fractal comprendida entre 1 y 2 que no es entera.
2.5- Teoría de funciones iteradas
La construcción de un fractal puede hacerse mediante la iteración
de una fórmula. A continuación se hace una pequeña
demostración del funcionamiento de este sistema de funciones que
demuestra la unión que existe entre matemática fractal y
caos.
Partamos de la siguiente fórmula: 
siendo k un número entero y
la imagen de 
La iteración de una función consiste en introducir el valor
de la imagen anterior en la imagen que se pretende conseguir. Para iniciar
el proceso iterativo se debe introducir pues un valor inicial (xo) en
la fórmula, a este valor inicial se le denomina semilla.
Partimos en este caso de que 
y k=3.
El final del programa se puede ver en la figura 1.
Iteración |
F(x) |
| 0 |  |
| 1 |  |
| 1000 |  |
Ahora una pequeña demostración del caos. Cambiamos f(n-1)=0.25
por f(n-1)=0.3 (nótese que sólo hemos aumentado en 0.05 unidades
f(n-1) ) El final del programa se puede ver en la figura 2.
La imagen de f(10) para f(n-1)=0.25 es sustancialmente diferente a f(10)
para f(n-1)=0.3.
Iteración |
F(x) |
| 0 |  |
| 1 |  |
| 1000 |  |
El siguiente gráfico muestra las últimas 20 iteraciones de las funciones anteriores. Observe que la diferencia entre la función F1 con los parámetros
, k = 0.3 y
F2 con 
, k = 0.3.
La diferencia entre la iteración 1000 de la primera función
y la iteración 1000 de la segunda iteración es 
.
El siguiente gráfico ilustra la diferencia entre el resultado de las últimas 20 iteraciones que se produce entre la función 2 y la función 1.
A medida que las iteraciones aumentan la diferencia entre los valores de las funciones crece desmesuradamente.
Antes de poder admirar la belleza de las fórmulas matemáticas
y sus bellos resultados se debe aclarar un concepto que aparecerá nombrado
más tarde.
Un atractor no es más que un punto o conjunto de ellos al cual
tienden a aproximarse una parte de un conjunto fractal, el fractal se
siente atraído. Por ejemplo si tomamos el problema clásico
3n + 1 se obtiene un atractor.
El problema 3n + 1:
Tomamos un número (semilla inicial) al que le aplicaremos un proceso
iterativo consistente en que si es impar lo multiplicaremos por 3 y le
sumaremos 1, en caso contrario (que sea par) lo dividiremos entre 2.
Al resultado obtenido le aplicaremos el mismo procedimiento y así sucesivamente
hasta que se entre en un bucle sin salida.
Por ejemplo
 |
 |
 |
| 4 2 1 |
10 |
3 |
P=3 |
P=7 |
P=8 |
Sea P el número de iteraciones calculadas antes de que la sucesión
de resultados caiga en un bucle sin salida.
En este caso pues el atractor es la sucesión 4, 2, 1. Los matemáticos
de todos los tiempos llevan preguntándose si existe otra sucesión.
Todavía no hay resultados. Para esta explicación se ha elaborado
el programa p3n1.java que acompaña al trabajo.
Como más adelante se mostrará los atractores pueden mostrar una
belleza interminable (como en el caso del fractal de Newton) o pueden siquiera
no mostrarse (visualmente hablando).
